📘 Définition de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle est l’unique fonction dérivable sur ℝ qui est égale à sa dérivée et vaut 1 en 0. Elle est notée exp ou eˣ.
📐 Définition fondamentale
Il existe une unique fonction f, dérivable sur ℝ, vérifiant :
f’= f et f(0) = 1
Cette fonction est appelée la fonction exponentielle, notée exp.
Sa propriété fondamentale : exp’ = exp (la fonction exponentielle est sa propre dérivée).
📐 La notation eˣ
L’image de 1 par la fonction exponentielle est notée e :
e = exp(1) ≈ 2,718
Par extension, pour tout réel x :
exp(x) = eˣ
Ainsi, exp(2) = e², exp(−3) = e⁻³, exp(1/2) = e^(1/2) = √e, etc.
📐 Propriétés immédiates découlant de la définition
| Propriété | Formule | Démonstration / Origine |
|---|---|---|
| Valeur en 0 | exp(0) = 1, soit e⁰ = 1 | Par définition : f(0) = 1 |
| Dérivée | (eˣ)’ = eˣ | Par définition : f’ = f |
| Stricte positivité | ∀ x ∈ ℝ, exp(x) > 0 | La fonction ne s’annule jamais (démontré par la définition) |
Important : exp(x) = eˣ > 0 pour tout réel x. La fonction exponentielle ne prend jamais de valeur négative ni nulle.
💡 À retenir
• exp est l’unique fonction dérivable sur ℝ telle que exp’ = exp et exp(0) = 1.
• e ≈ 2,718 est le nombre d’Euler (exp(1)).
• exp(x) = eˣ pour tout réel x.
• eˣ > 0 pour tout réel x.