Exercice 4 — Problème de synthèse type Baccalauréat

Contexte

On considère la fonction f définie sur ℝ par :

f(x) = (2x + 1) × eˣ

Partie A — Dérivée et variations

1) Calculer f'(x). Factoriser le résultat.

2) Résoudre f'(x) = 0. Étudier le signe de f'(x) et dresser le tableau de variations complet de f.

3) Déterminer le minimum de f et l’équation de la tangente horizontale en ce point.

Partie B — Équation et inéquation

4) Résoudre l’équation f(x) = 0 (indication : eˣ ne s’annule jamais).

5) Pour quelles valeurs de x a-t-on f(x) < 0 ?

Partie C — Application

6) On pose g(x) = e^(2x+1). Résoudre g(x) < e^(x²−x+5).

7) Montrer que pour tout réel x, f(x) = (2x+1)eˣ peut s’écrire sous la forme [h(x)]’ où h est une primitive de f. (Indication : chercher une fonction du type h(x) = (ax + b)eˣ et calculer h'(x).)