✅ Corrigé détaillé — Exercice 3
Partie A
| Fonction f(x) | f'(x) | Règle utilisée |
|---|---|---|
| a) e^(3x) | 3e^(3x) | (e^(ax))’ = a × e^(ax), a = 3 |
| b) e^(−2x+1) | −2e^(−2x+1) | a = −2 |
| c) 2eˣ + 3x² | 2eˣ + 6x | (u+v)’ et (eˣ)’ = eˣ, (x²)’ = 2x |
| d) xeˣ | eˣ + xeˣ = eˣ(1 + x) | (uv)’ = u’v + uv’, u=x (u’=1), v=eˣ (v’=eˣ) |
| e) eˣ/(x+1) | [eˣ(x+1) − eˣ×1]/(x+1)² = eˣx/(x+1)² | (u/v)’ = (u’v−uv’)/v², u=eˣ, v=x+1 |
Partie B
2a) f(x) = (x−1)eˣ = u × v avec u = x−1 (u’ = 1) et v = eˣ (v’ = eˣ).
f'(x) = 1 × eˣ + (x−1) × eˣ = eˣ[1 + x − 1] = xeˣ.
2b) Signe de f'(x) = xeˣ :
• eˣ > 0 toujours → le signe de f'(x) est celui de x.
• f'(x) < 0 ↔ x < 0 → f décroissante sur ]−∞ ; 0].
• f'(x) = 0 ↔ x = 0 → extremum potentiel.
• f'(x) > 0 ↔ x > 0 → f croissante sur [0 ; +∞[.
| x | −∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) = xeˣ | − | 0 | + | ||
| f(x) = (x−1)eˣ | 0⁺ ↘ | −1 | ↗ +∞ |
2c) f'(0) = 0 et change de − à + → minimum local en x = 0.
f(0) = (0−1)×e⁰ = −1 × 1 = −1.
Équation de la tangente horizontale : y = −1.
Partie C
3a) P(0) = 500 × e⁰ = 500 × 1 = 500 bactéries initialement.
3b) P'(t) = 500 × 0,3 × e^(0,3t) = 150 × e^(0,3t).
P'(t) représente le taux de variation instantané de la population : le nombre de bactéries supplémentaires créées par heure à l’instant t.
3c) P'(t) = 150 × e^(0,3t) > 0 pour tout t (car eˣ > 0 toujours). Donc P est strictement croissante : la population est toujours en croissance exponentielle.