📘 Propriétés algébriques de la fonction exponentielle
La fonction exponentielle possède des propriétés algébriques fondamentales qui permettent de transformer et simplifier des expressions avec exp.
📐 Les cinq propriétés algébriques essentielles
| Propriété | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Somme des exposants | exp(x + y) = exp(x) × exp(y), soit e^(x+y) = eˣ × eʸ | e^(3+2x) = e³ × e^(2x) |
| Différence des exposants | exp(x − y) = exp(x) / exp(y), soit e^(x−y) = eˣ / eʸ | e^(2x−4) = e^(2x) / e⁴ |
| Opposé | exp(−x) = 1 / exp(x), soit e^(−x) = 1/eˣ | e^(−5) = 1/e⁵ |
| Produit dans l’exposant | exp(nx) = [exp(x)]ⁿ, soit e^(nx) = (eˣ)ⁿ | e^(2x) = (eˣ)² |
| Valeur particulière | exp(0) = 1, soit e⁰ = 1 | e^(x−x) = e⁰ = 1 |
📐 Conséquences et simplifications utiles
| Expression | Simplification |
|---|---|
| eˣ × e⁻ˣ | e^(x + (−x)) = e⁰ = 1 |
| eˣ / eˣ | e^(x − x) = e⁰ = 1 |
| (eˣ)³ | e^(3x) |
| e^(x) × e^(2x) | e^(x + 2x) = e^(3x) |
| e^(5x) / e^(2x) | e^(5x − 2x) = e^(3x) |
📐 Suite géométrique et exponentielle
Pour tout réel a, la suite (e^(na))ₙ ∈ ℕ est une suite géométrique de raison q = eᵃ.
Exemple avec a = 2 : uₙ = e^(2n) = (e²)ⁿ → suite géométrique de raison e² ≈ 7,389.
💡 À retenir
• e^(x+y) = eˣ × eʸ (somme → produit).
• e^(x−y) = eˣ / eʸ (différence → quotient).
• e^(−x) = 1/eˣ.
• e^(nx) = (eˣ)ⁿ.
• Ces formules sont les mêmes que les propriétés des puissances en algèbre.