✅ Corrigé détaillé — Exercice 4

Partie A

1) f(x) = (2x+1)eˣ = u × v avec u = 2x+1 (u’ = 2), v = eˣ (v’ = eˣ).
f'(x) = 2eˣ + (2x+1)eˣ = eˣ(2 + 2x + 1) = eˣ(2x + 3).

2) f'(x) = 0 ↔ eˣ(2x+3) = 0 ↔ 2x+3 = 0 (car eˣ ≠ 0) ↔ x = −3/2.
Signe de f'(x) = eˣ(2x+3) : eˣ > 0 toujours → signe = signe de (2x+3).
• 2x+3 < 0 ↔ x < −3/2 → f'(x) < 0 → f décroissante sur ]−∞ ; −3/2].
• 2x+3 > 0 ↔ x > −3/2 → f'(x) > 0 → f croissante sur [−3/2 ; +∞[.

f(−3/2) = (2×(−3/2)+1) × e^(−3/2) = (−3+1) × e^(−3/2) = −2e^(−3/2).

3) Minimum global de f en x = −3/2, valeur f(−3/2) = −2e^(−3/2) ≈ −0,446.
Équation tangente horizontale : y = −2e^(−3/2).

Partie B

4) f(x) = 0 ↔ (2x+1)eˣ = 0. Or eˣ ≠ 0 pour tout x → (2x+1) = 0 → x = −1/2.

5) f(x) < 0 ↔ (2x+1)eˣ < 0. Comme eˣ > 0, signe de f(x) = signe de (2x+1).
(2x+1) < 0 ↔ x < −1/2.
S = ]−∞ ; −1/2[.

Partie C

6) g(x) < e^(x²−x+5) ↔ e^(2x+1) < e^(x²−x+5) ↔ 2x+1 < x² − x + 5 (car exp croissante).
↔ 0 < x² − 3x + 4.
Δ = 9 − 16 = −7 < 0, a = 1 > 0 → x² − 3x + 4 > 0 sur ℝ entier.
Donc l’inéquation est vraie pour tout réel x : S = ℝ.

7) On cherche h(x) = (ax+b)eˣ tel que h'(x) = f(x) = (2x+1)eˣ.
h'(x) = aeˣ + (ax+b)eˣ = eˣ(a + ax + b) = eˣ(ax + (a+b)).
Identification avec (2x+1)eˣ :
• Coefficient de x : a = 2.
• Terme constant : a + b = 1 → b = 1 − 2 = −1.
Donc h(x) = (2x−1)eˣ est une primitive de f.
Vérification : h'(x) = 2eˣ + (2x−1)eˣ = eˣ(2 + 2x − 1) = eˣ(2x+1) = f(x) ✓.