📘 Équations et inéquations avec la fonction exponentielle
La stricte croissance de la fonction exponentielle permet de résoudre des équations et inéquations avec exp en comparant directement les exposants.
📐 Les trois propriétés fondamentales de résolution
| Propriété | Formule d’équivalence | Justification |
|---|---|---|
| Égalité | eᵃ = eᵇ ⟺ a = b | exp est injective (strictement croissante) |
| Inégalité stricte < | eᵃ < eᵇ ⟺ a < b | exp est strictement croissante |
| Inégalité stricte > | eᵃ > eᵇ ⟺ a > b | exp est strictement croissante |
| Cas particulier | eˣ > 1 ⟺ x > 0 (car e⁰ = 1) | exp croissante + exp(0) = 1 |
📐 Exemples de résolution d’équations
| Équation | Résolution | Solutions |
|---|---|---|
| e^(3x+5) = e^(x²−x+3) | 3x+5 = x²−x+3 → x²−4x−2 = 0 → Δ = 24 | x₁ = 2−√6 ; x₂ = 2+√6 |
| e^(2x) = 1 | e^(2x) = e⁰ → 2x = 0 | x = 0 |
| e^(x+1) = e³ | x + 1 = 3 | x = 2 |
📐 Exemples de résolution d’inéquations
| Inéquation | Résolution | Ensemble solution |
|---|---|---|
| e^(x−1) < e⁴ | x − 1 < 4 | S = ]−∞ ; 5[ |
| e^(3x) > e^(2x−1) | 3x > 2x − 1 → x > −1 | S = ]−1 ; +∞[ |
| eˣ > 1 | eˣ > e⁰ → x > 0 | S = ]0 ; +∞[ |
| e^(2x+1) ≤ e^(x−3) | 2x+1 ≤ x−3 → x ≤ −4 | S = ]−∞ ; −4] |
💡 À retenir
• eᵃ = eᵇ ⟺ a = b.
• eᵃ < eᵇ ⟺ a < b (même sens).
• Méthode : écrire les deux membres sous forme eˢᵒᵐᵉᵗʰⁱⁿᵍ, puis comparer les exposants directement.
• eˣ > 0 toujours → utile pour simplifier des expressions ou des signes.