✅ Corrigé détaillé — Exercice 1
Partie A
| Expression | Forme simplifiée | Propriété utilisée |
|---|---|---|
| a) e³ × e⁵ | e^(3+5) = e⁸ | e^(x+y) = eˣ × eʸ |
| b) e^(2x) × e^(3x) | e^(2x+3x) = e^(5x) | Somme des exposants |
| c) e⁷ / e² | e^(7−2) = e⁵ | e^(x−y) = eˣ/eʸ |
| d) e^(4x) / e^(x+1) | e^(4x−(x+1)) = e^(3x−1) = e^(3x−1) | Différence des exposants |
| e) (eˣ)⁴ | e^(4x) = e^(4x) | e^(nx) = (eˣ)ⁿ |
| f) e^(−x) × eˣ | e^(−x+x) = e⁰ = 1 | e^(−x) = 1/eˣ |
| g) e² × e^(−5) × e³ | e^(2−5+3) = e⁰ = 1 | Somme : 2−5+3 = 0 |
| h) (e^(2x))³ / eˣ | e^(6x) / eˣ = e^(6x−x) = e^(5x) | Puissance puis différence |
Partie B
2a) e^(x+3) + e^(x−1) = eˣ × e³ + eˣ × e^(−1) = eˣ(e³ + e^(−1)).
(facteur commun eˣ)
2b) e^(2x) − e^(2x+5) = e^(2x) − e^(2x) × e⁵ = e^(2x)(1 − e⁵).
(facteur commun e^(2x))
2c) e^(3x) × (1 + e^(−x)) = e^(3x) + e^(3x) × e^(−x) = e^(3x) + e^(3x−x) = e^(3x) + e^(2x).
Ou bien : = e^(2x)(eˣ + 1) si on factorise par e^(2x).
3) Montrons que eˣ − e^(−x) = e^(−x)(e^(2x) − 1) :
e^(−x)(e^(2x) − 1) = e^(−x) × e^(2x) − e^(−x) × 1 = e^(−x+2x) − e^(−x) = eˣ − e^(−x) ✓.