Exercice 3 — Dérivation et étude de fonctions avec la fonction exponentielle
Partie A — Calcul de dérivées
1) Calculer la dérivée de chaque fonction :
| Fonction f(x) | f'(x) |
|---|---|
| a) f(x) = e^(3x) | … |
| b) g(x) = e^(−2x+1) | … |
| c) h(x) = 2eˣ + 3x² | … |
| d) k(x) = xeˣ | … |
| e) p(x) = eˣ / (x+1) | … |
Partie B — Étude de fonction
2) On considère la fonction f définie sur ℝ par f(x) = (x − 1)eˣ.
a) Calculer f'(x).
b) Étudier le signe de f'(x) et dresser le tableau de variations de f.
c) Déterminer l’extremum de f et donner son équation de tangente horizontale.
Partie C — Application
3) On modélise la population d’une bactérie par P(t) = 500 × e^(0,3t), où t est le temps en heures.
a) Quelle est la population initiale (t = 0) ?
b) Calculer P'(t). Que représente P'(t) ?
c) La population est-elle en croissance ou en décroissance ? Justifier à l’aide de P'(t).