📘 Variations de la fonction exponentielle et dérivées de fonctions avec exp
La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. Sa dérivée est elle-même. On peut dériver des fonctions plus complexes combinant l’exponentielle avec d’autres fonctions.
📐 Variations de la fonction exponentielle
La fonction exp est strictement croissante sur ℝ.
| x | −∞ | 0 | +∞ | ||
|---|---|---|---|---|---|
| exp(x) = eˣ | 0⁺ | ↗ | 1 | ↗ | +∞ |
• Quand x → −∞ : eˣ → 0⁺ (s’approche de 0 par valeurs positives).
• Quand x → +∞ : eˣ → +∞.
• exp(0) = 1 est la valeur de référence.
Justification : (eˣ)’ = eˣ > 0 pour tout réel x → exp strictement croissante sur ℝ.
📐 Dérivée des fonctions avec exp
En utilisant la règle g(ax + b) → a × g'(ax + b) avec g = exp et g’ = exp :
| Fonction f(x) | Dérivée f'(x) | Domaine |
|---|---|---|
| eˣ | eˣ | ℝ |
| e^(ax+b) (a ≠ 0) | a × e^(ax+b) | ℝ |
| e^(2x) | 2e^(2x) | ℝ |
| e^(−3x) | −3e^(−3x) | ℝ |
| e^(x/2) | (1/2)e^(x/2) | ℝ |
Pour des produits, sommes ou quotients incluant exp, on applique les règles habituelles (u+v)’, (uv)’, (u/v)’.
Exemples :
• f(x) = x² × eˣ → f'(x) = 2x × eˣ + x² × eˣ = eˣ(2x + x²) = eˣ × x(2 + x).
• g(x) = eˣ / (x + 1) → g'(x) = [eˣ(x+1) − eˣ × 1] / (x+1)² = eˣ(x+1−1)/(x+1)² = xeˣ/(x+1)².
💡 À retenir
• exp est strictement croissante sur ℝ, de 0 à +∞.
• (eˣ)’ = eˣ (se dérive en lui-même).
• (e^(ax+b))’ = a × e^(ax+b).
• eˣ > 0 → eˣ est toujours positif, utile pour l’étude du signe.