✅ Corrigé détaillé — Exercice 1
Partie A
| Équation ax+by+c=0 | a, b | u⃗ = (−b ; a) | n⃗ = (a ; b) |
|---|---|---|---|
| a) 3x + 2y − 5 = 0 | a=3, b=2 | (−2 ; 3) | (3 ; 2) |
| b) x − 4y + 1 = 0 | a=1, b=−4 | (4 ; 1) | (1 ; −4) |
| c) 5x − 7 = 0 (soit 5x+0y−7=0) | a=5, b=0 | (0 ; 5) | (5 ; 0) |
| d) −y + 3 = 0 (soit 0x−y+3=0) | a=0, b=−1 | (1 ; 0) | (0 ; −1) |
Partie B
2) A(2 ; −1), u⃗(3 ; 4) avec α’ = 3, β’ = 4.
Équation de la forme β’x − α’y + c = 0 → 4x − 3y + c = 0.
A ∈ (d) → 4(2) − 3(−1) + c = 0 → 8 + 3 + c = 0 → c = −11.
Équation : 4x − 3y − 11 = 0.
3) B(−1 ; 2), n⃗(5 ; −3) avec a = 5, b = −3.
Équation de la forme 5x − 3y + c = 0.
B ∈ (d) → 5(−1) − 3(2) + c = 0 → −5 − 6 + c = 0 → c = 11.
Équation : 5x − 3y + 11 = 0.
4) C(0 ; 4) et D(3 ; 1). Vecteur directeur CD⃗ = (3 ; −3) ou simplifié (1 ; −1), soit α’ = 1, β’ = −1.
Équation : (−1)x − 1×y + c = 0 → −x − y + c = 0 → x + y + c’ = 0.
C ∈ (d) → 0 + 4 + c’ = 0 → c’ = −4. Équation : x + y − 4 = 0.
Vérification avec D : 3 + 1 − 4 = 0 ✓.
Partie C
5a) (d) : x − 2y + 6 = 0. A(−3 ; 4) : −3 − 2(4) + 6 = −3 − 8 + 6 = −5 ≠ 0. → A ∉ (d) ✓.
5b) (d) a pour vecteur normal n⃗(1 ; −2). La droite (AH) passe par A et est dirigée par n⃗ → vecteur directeur (1 ; −2).
Équation de (AH) : (−2)x − 1×y + c = 0 → −2x − y + c = 0. A ∈ (AH) → −2(−3) − 4 + c = 0 → 6 − 4 + c = 0 → c = −2.
(AH) : −2x − y − 2 = 0, soit 2x + y + 2 = 0.
Système { x − 2y + 6 = 0 ; 2x + y + 2 = 0 }.
De la 2ᵉ équation : y = −2x − 2. Substituer dans la 1ʳᵉ : x − 2(−2x−2) + 6 = 0 → x + 4x + 4 + 6 = 0 → 5x = −10 → x = −2. y = −2(−2) − 2 = 2.
H = (−2 ; 2).
Vérification : H ∈ (d) : −2 − 2(2) + 6 = −2 − 4 + 6 = 0 ✓. AH⃗ = (1 ; −2) = n⃗ ✓.