📘 Équations de cercles
Un cercle est l’ensemble des points équidistants d’un centre donné. Son équation s’écrit à partir du centre et du rayon.
📐 Équation d’un cercle
Le cercle de centre A(α ; β) et de rayon R (R > 0) a pour équation :
(x − α)² + (y − β)² = R²
C’est l’ensemble des points M(x ; y) tels que AM = R, soit AM² = R².
📐 Interpretation selon la valeur de R²
| Équation (x − α)² + (y − β)² = k | Ensemble de points |
|---|---|
| k > 0 | Cercle de centre A(α ; β) et de rayon √k |
| k = 0 | Un seul point : A(α ; β) lui-même |
| k < 0 | Ensemble vide (impossible) |
📐 Exemples
| Centre A | Rayon R | Équation du cercle |
|---|---|---|
| A(4 ; 5) | R = 3 | (x−4)² + (y−5)² = 9 |
| A(0 ; 0) | R = 5 | x² + y² = 25 |
| A(−2 ; 3) | R = √7 | (x+2)² + (y−3)² = 7 |
| A(1 ; 10) | R = √3 | (x−1)² + (y−10)² = 3 |
Lecture inverse (identifier centre et rayon) : mettre sous la forme (x − α)² + (y − β)² = R² par complétion du carré si nécessaire.
💡 À retenir
• Cercle de centre (α, β) et rayon R : (x − α)² + (y − β)² = R².
• Centre = coordonnées (α, β) dans l’équation.
• Rayon R = racine carrée du membre de droite.
• Si le membre de droite est négatif → ensemble vide. Si nul → point unique.