📘 Les paraboles
La courbe représentative d’un trinôme du second degré f(x) = ax² + bx + c est une parabole. Elle admet un sommet S(α, β), un axe de symétrie vertical x = α, et est orientée vers le haut (a > 0) ou vers le bas (a < 0).
📐 Orientation de la parabole selon le signe de a
| Signe de a | Orientation | Extremum |
|---|---|---|
| a > 0 | Parabole vers le haut (∪) : décroissante puis croissante | Minimum (ordonnée du sommet) |
| a < 0 | Parabole vers le bas (∩) : croissante puis décroissante | Maximum (ordonnée du sommet) |
📐 Sommet et axe de symétrie
Pour f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0), le sommet S de la parabole a pour coordonnées :
α = −b / (2a) et β = f(α)
L’axe de symétrie est la droite verticale :
x = α = −b / (2a)
La parabole est symétrique par rapport à cet axe : f(α − x) = f(α + x) pour tout réel x.
📐 Exemples de calcul du sommet
| Fonction f(x) | a, b, c | α = −b/(2a) | β = f(α) | Sommet S | Axe de symétrie |
|---|---|---|---|---|---|
| x² + 3 | a=1, b=0, c=3 | 0 | 3 | S(0 ; 3) | x = 0 |
| 5x² − 4x + 9 | a=5, b=−4, c=9 | 2/5 | 41/5 | S(2/5 ; 41/5) | x = 2/5 |
| −8x² + x + 3 | a=−8, b=1, c=3 | 1/16 | f(1/16) | S(1/16 ; …) | x = 1/16 |
| −2x² + 5x | a=−2, b=5, c=0 | 5/4 | 25/8 | S(5/4 ; 25/8) | x = 5/4 |
💡 À retenir
• Sommet S : α = −b/(2a), β = f(α).
• Axe de symétrie : x = −b/(2a).
• a > 0 → parabole ∪, minimum en S. a < 0 → parabole ∩, maximum en S.
• Symétrie : f(α − x) = f(α + x) (la parabole est symétrique par rapport à son axe).