📘 Vecteur normal et projeté orthogonal
Le vecteur normal est perpendiculaire à la droite. Il se lit directement sur les coefficients de l’équation cartésienne. Le projeté orthogonal d’un point sur une droite est le pied de la perpendiculaire.
📐 Vecteur normal
Un vecteur n⃗ est dit normal à une droite (d) s’il est orthogonal à tout vecteur directeur de (d).
La droite ax + by + c = 0 admet comme vecteur normal :
n⃗ = (a ; b)
Les coordonnées du vecteur normal sont les coefficients devant x et y dans l’équation cartésienne.
| Équation cartésienne | Vecteur normal n⃗ = (a ; b) | Vecteur directeur u⃗ = (−b ; a) |
|---|---|---|
| 2x + 5y − 1 = 0 | n⃗ = (2 ; 5) | u⃗ = (−5 ; 2) |
| 3x − 4y + 7 = 0 | n⃗ = (3 ; −4) | u⃗ = (4 ; 3) |
| 7x − 4 = 0 | n⃗ = (7 ; 0) | u⃗ = (0 ; 7) |
Vérification n⃗ ⊥ u⃗ : n⃗ · u⃗ = a×(−b) + b×a = −ab + ab = 0. ✓
📐 Trouver l’équation d’une droite connaissant un point A(α ; β) et un vecteur normal n⃗(a ; b)
Méthode :
1. L’équation est de la forme ax + by + c = 0.
2. Substituer A : aα + bβ + c = 0 → c = −aα − bβ.
3. Écrire l’équation complète.
Exemple : Point A(1 ; 3), vecteur normal n⃗(−2 ; 5).
Équation : −2x + 5y + c = 0. A ∈ (d) → −2(1) + 5(3) + c = 0 → −2 + 15 + c = 0 → c = −13.
Équation : −2x + 5y − 13 = 0.
📐 Projeté orthogonal d’un point A sur une droite (d)
Le projeté orthogonal H de A sur (d) est le point de (d) tel que AH⃗ soit normal à (d).
H est le pied de la perpendiculaire abaissée de A sur (d).
Méthode pour calculer H :
1. (d) a pour vecteur normal n⃗(a, b). La droite (AH) passe par A et est de vecteur directeur n⃗ → équation de (AH).
2. H = intersection de (AH) et de (d) : résoudre le système.
3. Vérifier que H ∈ (d) et que AH⃗ est bien normal à (d).
💡 À retenir
• Vecteur normal de ax + by + c = 0 : n⃗ = (a ; b).
• Point A + vecteur normal n⃗(a, b) → équation ax + by + c = 0, puis substituer A.
• Lien entre directeur et normal : n⃗ · u⃗ = 0 (ils sont perpendiculaires).