📘 Vecteur directeur d’une droite
Le vecteur directeur d’une droite est un vecteur non nul parallèle à cette droite. Il se lit directement sur l’équation cartésienne.
📐 Définition et lecture
Soit (d) une droite d’équation cartésienne ax + by + c = 0. Un vecteur directeur de (d) est :
u⃗ = (−b ; a)
Autrement dit, les coordonnées du vecteur directeur sont les coefficients (−b, a) lus dans l’équation cartésienne.
| Équation cartésienne ax + by + c = 0 | Vecteur directeur u⃗ = (−b ; a) |
|---|---|
| 2x + y − 4 = 0 | u⃗ = (−1 ; 2) |
| 3x − 5y + 1 = 0 | u⃗ = (5 ; 3) |
| x − 2y + 6 = 0 | u⃗ = (2 ; 1) |
| 7x = 4 (soit 7x + 0y − 4 = 0) | u⃗ = (0 ; 7) (droite verticale) |
📐 Trouver l’équation d’une droite connaissant un point A(α ; β) et un vecteur directeur u⃗(α’ ; β’)
Méthode :
1. L’équation est de la forme β’x − α’y + c = 0.
2. Substituer les coordonnées de A pour trouver c : β’α − α’β + c = 0 → c = α’β − β’α.
3. Écrire l’équation complète.
Exemple : Point A(1 ; 3), vecteur directeur u⃗(1 ; 1).
Équation de la forme : 1×x − 1×y + c = 0, soit x − y + c = 0.
A ∈ (d) → 1 − 3 + c = 0 → c = 2. Équation : x − y + 2 = 0.
💡 À retenir
• Vecteur directeur de ax + by + c = 0 : u⃗ = (−b ; a).
• Point A + vecteur directeur u⃗(α’, β’) → équation β’x − α’y + c = 0, puis substituer A.