✅ Corrigé détaillé — Exercice 4
Partie A
1) Les données sont déjà ordonnées dans l’ordre croissant : 900, 1 400, 1 650, 1 900, 2 100, 2 400, 2 800, 3 500, 4 200, 12 000. ✓
2) Revenu moyen = (900 + 1 400 + 1 650 + 1 900 + 2 100 + 2 400 + 2 800 + 3 500 + 4 200 + 12 000) / 10 = 32 850 / 10 = 3 285 €.
3) n = 10 (pair). Positions centrales = 5e et 6e.
• 5e valeur = 2 100 €.
• 6e valeur = 2 400 €.
Médiane = (2 100 + 2 400) / 2 = 4 500 / 2 = 2 250 €.
4) La médiane (2 250 €) est plus représentative. La moyenne (3 285 €) est fortement biaisée par le revenu extrême du ménage J (12 000 €). En effet, 8 ménages sur 10 gagnent moins que la moyenne, ce qui montre qu’elle n’est pas représentative du ménage « typique ». La médiane (2 250 €) partage exactement la population en deux : 5 ménages gagnent moins et 5 ménages gagnent plus.
Partie B
5) • Ménages gagnant moins que la moyenne (3 285 €) : A (900), B (1 400), C (1 650), D (1 900), E (2 100), F (2 400), G (2 800) → 7 ménages sur 10.
• Ménages gagnant moins que la médiane (2 250 €) : A (900), B (1 400), C (1 650), D (1 900), E (2 100) → 5 ménages sur 10 (par définition).
Cela révèle que la distribution des revenus est asymétrique : il y a une concentration de ménages à faibles revenus et quelques ménages à très hauts revenus (queue de distribution vers la droite). Dans une telle distribution, la moyenne surestime systématiquement le revenu « typique ».
6) Prévisions :
• La moyenne va baisser : le ménage J (12 000 €, la valeur extrême) est remplacé par un ménage à 2 600 €. La valeur extrême qui tirait la moyenne vers le haut disparaît → forte baisse de la moyenne.
• La médiane va peu changer (légère variation possible) : la médiane dépend des valeurs centrales (5e et 6e), pas des extrêmes. La 5e valeur est toujours 2 100 € et la 6e devient 2 400 € ou 2 600 € selon la réorganisation → la médiane restera proche.
Vérification par le calcul :
Nouvelle série ordonnée : 900, 1 400, 1 650, 1 900, 2 100, 2 400, 2 600, 2 800, 3 500, 4 200.
Nouvelle moyenne = (900 + 1 400 + 1 650 + 1 900 + 2 100 + 2 400 + 2 600 + 2 800 + 3 500 + 4 200) / 10 = 23 450 / 10 = 2 345 € (en forte baisse, de 3 285 € à 2 345 €, soit −940 €).
Nouvelle médiane : 5e valeur = 2 100, 6e valeur = 2 400. Médiane = (2 100 + 2 400) / 2 = 2 250 € (identique à avant). ✓
7) La médiane est un indicateur plus robuste que la moyenne pour décrire les inégalités de revenus pour plusieurs raisons :
• Elle est insensible aux valeurs extrêmes : que le revenu le plus élevé soit de 12 000 € ou de 100 000 €, la médiane ne change pas (comme démontré dans cet exercice).
• Elle représente le revenu du ménage « typique » (celui qui est au milieu de la distribution) plutôt qu’une valeur abstraite biaisée par les très hauts revenus.
• En SES, la médiane est largement utilisée pour décrire les revenus et les niveaux de vie. L’INSEE publie ainsi le revenu médian par unité de consommation, le salaire médian ou encore le prix médian de l’immobilier. Ces indicateurs sont plus parlants que les moyennes pour évaluer les conditions de vie de la majorité de la population, notamment pour mesurer les inégalités.