📘 La moyenne arithmétique pondérée
La moyenne pondérée est utilisée lorsque les valeurs n’ont pas toutes le même poids dans la série. Chaque valeur est multipliée par son coefficient (poids) avant la sommation.
📐 Définition et formule
La moyenne pondérée est une moyenne dans laquelle chaque valeur xᵢ est associée à un coefficient (poids) pᵢ qui représente son importance relative dans la série :
Moyenne pondérée = (p₁×x₁ + p₂×x₂ + … + pₙ×xₙ) / (p₁ + p₂ + … + pₙ) = Σ(pᵢ × xᵢ) / Σpᵢ
Où :
• xᵢ est chaque valeur de la série.
• pᵢ est le coefficient (poids) de chaque valeur.
• Σ(pᵢ × xᵢ) est la somme des produits valeur × poids.
• Σpᵢ est la somme de tous les poids (= n dans la moyenne simple où tous les poids sont égaux à 1).
📐 Exemple de calcul — Salaire moyen dans une entreprise avec effectifs différents
Une entreprise emploie des salariés appartenant à trois catégories :
| Catégorie | Salaire mensuel net (xᵢ) | Nombre de salariés (pᵢ) | pᵢ × xᵢ |
|---|---|---|---|
| Ouvriers | 1 600 € | 40 | 64 000 |
| Techniciens | 2 400 € | 30 | 72 000 |
| Cadres | 4 800 € | 10 | 48 000 |
| Total | 80 | 184 000 |
Calcul :
Moyenne pondérée = Σ(pᵢ × xᵢ) / Σpᵢ = 184 000 / 80 = 2 300 €
Remarque : si on avait calculé une moyenne simple des trois salaires, on aurait obtenu : (1 600 + 2 400 + 4 800) / 3 = 2 933 €, ce qui serait erroné car il y a beaucoup plus d’ouvriers que de cadres. La moyenne pondérée (2 300 €) est plus représentative de la réalité.
📐 Comparaison des deux types de moyennes
| Critère | Moyenne simple | Moyenne pondérée |
|---|---|---|
| Définition | Somme des valeurs divisée par leur nombre | Somme des produits (valeur × poids) divisée par la somme des poids |
| Quand l’utiliser ? | Toutes les valeurs ont le même poids (même importance) | Les valeurs ont des poids différents (effectifs, fréquences, coefficients) |
| Formule | Σxᵢ / n | Σ(pᵢ × xᵢ) / Σpᵢ |
| Exemples en SES | PIB par habitant, notes scolaires (si même coefficient), revenu moyen | Salaire moyen dans une entreprise avec effectifs différents par catégorie, moyenne pondérée par les effectifs |
💡 À retenir
• Formule : Moyenne pondérée = Σ(pᵢ × xᵢ) / Σpᵢ.
• Utiliser la moyenne pondérée quand les valeurs n’ont pas toutes le même poids.
• Les poids peuvent être des effectifs, des fréquences ou des coefficients.
• Erreur fréquente : utiliser une moyenne simple quand les effectifs sont différents → résultat incorrect.