📘 I-A-1 — Définition et notation des nombres décimaux

Les nombres décimaux sont les nombres dont la partie décimale est finie. Ils correspondent aux nombres les plus accessibles à l’intuition.

📐 Définition

Un nombre décimal est un nombre qui s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

Exemples de nombres décimaux : 3,2 ; 1,32 ; 0,577215 ; 3,1415926 ; −0,6931.

1/3 n’est PAS décimal : il s’écrit 0,3333… avec une infinité de décimales.

📐 Caractérisation algébrique

Un nombre x est décimal si et seulement s’il existe un entier relatif k et un entier naturel p tels que :

x = k / 10^p

Exemples :
• 1,32 = 132 / 10² → décimal (k=132, p=2).
• −0,6931 = −6931 / 10⁴ → décimal (k=−6931, p=4).
• 1/3 : supposer 1/3 = k/10^p conduit à 10^p = 3k, impossible car 10^p n’est pas divisible par 3. Contradiction → 1/3 n’est pas décimal.

L’ensemble des nombres décimaux est noté 𝔻.

💡 À retenir

• Nombre décimal = partie décimale finie.
• x décimal ⟺ ∃ k ∈ ℤ, p ∈ ℕ : x = k/10^p.
• 1/3, π, √2 ne sont PAS décimaux.