📘 II-A — La distance entre deux réels et la valeur absolue
📐 Distance
La distance entre deux réels a et b est le réel positif : d(a, b) = |b − a| = |a − b|.
Exemples :
• d(−3, 5) = |5 − (−3)| = 8.
• d(2, 7) = |7 − 2| = 5.
📐 Valeur absolue
La valeur absolue de x est :
| Cas | Définition |
|---|---|
| x ≥ 0 | |x| = x |
| x < 0 | |x| = −x |
Exemples : |5| = 5 ; |−3| = 3 ; |0| = 0.
📐 Propriétés de la valeur absolue
- |x| ≥ 0 pour tout x.
- |x| = 0 ⟺ x = 0.
- |xy| = |x| × |y|.
- |x/y| = |x|/|y| (y ≠ 0).
- |x + y| ≤ |x| + |y| (inégalité triangulaire).
💡 À retenir
• |x| = distance de x à 0.
• d(a, b) = |b − a| = distance de a à b sur la droite.
• |x| = x si x ≥ 0 ; |x| = −x si x < 0.