📘 I-B-1 — Définition et notation des nombres rationnels
Puisque le quotient de deux décimaux n’est pas toujours décimal, on introduit les rationnels où la division est stable.
📐 Définition
Un nombre x est un nombre rationnel si et seulement s’il existe deux entiers relatifs p et q (q ≠ 0) tels que :
x = p/q
L’ensemble des rationnels est noté ℚ.
Exemples : 1/3, −5/7, 1,32 = 132/100 sont des rationnels.
📐 Inclusion
Tout nombre décimal est rationnel (il s’écrit k/10p, quotient de deux entiers). Donc :
𝔻 ⊂ ℚ
📐 Propriétés des rationnels
La somme, la différence, le produit et le quotient (par un rationnel non nul) de deux rationnels est un rationnel :
• 1/3 − 5/6 = 2/6 − 5/6 = −3/6 = −1/2 ∈ ℚ.
• (3/−8) ÷ (7/16) = (3/−8) × (16/7) = −6/7 ∈ ℚ.
💡 À retenir
• Rationnel ⟺ x = p/q avec p,q ∈ ℤ, q ≠ 0.
• 𝔻 ⊂ ℚ.
• +, −, ×, ÷ stables dans ℚ.