📘 II-B-1 — Caractérisation des intervalles centrés

📐 Théorème

Pour a ∈ ℝ et r > 0 :

|x − a| ≤ r ⟺ a − r ≤ x ≤ a + r ⟺ x ∈ [a − r ; a + r]

De même : |x − a| < r ⟺ x ∈ ]a − r ; a + r[

L’intervalle [a − r ; a + r] est centré en a, de demi-longueur r.

📐 Exemples

1) Résoudre |x − 3| ≤ 2 :
→ 3 − 2 ≤ x ≤ 3 + 2 → x ∈ [1 ; 5].

2) Résoudre |x + 1| < 4 (|x − (−1)| < 4) :
→ −1 − 4 < x < −1 + 4 → x ∈ ]−5 ; 3[.

3) Résoudre |2x − 6| ≤ 4 :
→ |2(x − 3)| ≤ 4 → |x − 3| ≤ 2 → x ∈ [1 ; 5].

💡 À retenir

• |x − a| ≤ r ⟺ x ∈ [a − r ; a + r].
• |x − a| < r ⟺ x ∈ ]a − r ; a + r[.
• Utile pour résoudre des inéquations avec valeur absolue.