📘 I-C-1 — Les nombres irrationnels et la preuve que √2 ∉ ℚ

Il existe des nombres réels qui ne sont pas rationnels : les irrationnels. La géométrie en fournit des exemples naturels.

📐 Exemple géométrique

Soit ABC un triangle rectangle avec AB = AC = 1. L’hypoténuse BC vaut √2 d’après Pythagore.

📐 Preuve que √2 ∉ ℚ (raisonnement par l’absurde)

Supposons √2 = p/q avec p, q ∈ ℕ (non tous nuls). En élevant au carré : 2q² = p².

→ p² est pair → p est pair (si p impair, p² impair : contradiction).
→ Écrire p = 2k → 2q² = 4k² → q² = 2k² → q² pair → q est pair.
→ p et q sont tous deux pairs : on peut simplifier la fraction p/q par 2. On obtient p’ < p et q’ < q. En répétant, on arriverait à p = 0 ou q = 0. Contradiction.

Donc √2 n’est pas rationnel. De même, π est irrationnel.

💡 À retenir

• Irrationnel = réel non rationnel.
• √2, π, √3 sont irrationnels.
• Preuve par l’absurde : supposer rationnel → contradiction.