📘 Vecteurs, droites et plans de l’espace

La géométrie dans l’espace étend les notions vectorielles du plan à trois dimensions. Un vecteur de l’espace est défini par sa direction, son sens et sa norme.

📐 I. Vecteurs dans l’espace

Toutes les propriétés des vecteurs du plan s’étendent à l’espace : opérations, relation de Chasles, colinéarité.

• Relation de Chasles : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗.
• Vecteurs colinéaires : u⃗ et v⃗ colinéaires ⟺ u⃗ = k·v⃗.
• Combinaison linéaire : toute expression λ₁u⃗₁ + λ₂u⃗₂ + … + λ_nu⃗_n.
• Vecteurs coplanaires : trois vecteurs sont coplanaires s’ils appartiennent à un même plan.

📐 II. Droites dans l’espace

Une droite D est déterminée par un point A et un vecteur directeur u⃗ ≠ 0⃗. Tout point M de la droite vérifie AM⃗ = k · u⃗.

📐 III. Plans dans l’espace

Un plan P est déterminé par :

• Un point A et deux vecteurs non colinéaires u⃗ et v⃗, ou
• Trois points non alignés A, B et C.

📐 IV. Repérage dans l’espace

Dans un repère (O ; i⃗, j⃗, k⃗), si A(x_A ; y_A ; z_A) et B(x_B ; y_B ; z_B), alors :

AB⃗ (x_B − x_A ; y_B − y_A ; z_B − z_A)

📐 V. Positions relatives

Deux droites : Elles peuvent être confondues, parallèles, sécantes ou gauches (non coplanaires : elles ne sont ni parallèles, ni sécantes).

Deux plans : Ils peuvent être parallèles ou sécants selon une droite.

💡 À retenir

• Coordonnées : AB⃗ (x_B − x_A ; y_B − y_A ; z_B − z_A).
• Plan : Défini par un point et deux vecteurs non colinéaires.
• Droites gauches : Situation spécifique à l’espace (pas de point commun et pas parallèles).
• Vecteurs coplanaires : w⃗ = a u⃗ + b v⃗ (combinaison linéaire).