📘 La fonction logarithme népérien
Le logarithme népérien ln est la réciproque de la fonction exponentielle. Strictement croissante sur ]0 ; +∞[, elle transforme les produits en sommes et les puissances en produits.
📐 I. Définition
Pour tout réel x > 0, ln(x) est l’unique réel y tel que eʸ = x.
ln est la réciproque de exp : ln(eˣ) = x pour tout x ∈ ℝ ; e^(ln x) = x pour tout x > 0.
Valeurs particulières : ln(1) = 0 ; ln(e) = 1 ; ln(e²) = 2.
📐 II. Règles algébriques
| Propriété | Formule (x, y > 0 ; n ∈ ℤ) |
|---|---|
| Produit → somme | ln(xy) = ln(x) + ln(y) |
| Quotient → différence | ln(x/y) = ln(x) − ln(y) |
| Inverse | ln(1/x) = −ln(x) |
| Puissance entière | ln(xⁿ) = n · ln(x) |
| Racine carrée | ln(√x) = ln(x) / 2 |
📐 III. Dérivée et variations
ln est dérivable sur ]0 ; +∞[ : (ln x)’ = 1/x.
Si u est dérivable et strictement positive sur I : (ln u)’ = u’/u.
ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[.
- lim_{x → 0⁺} ln(x) = −∞ (asymptote verticale x = 0).
- lim_{x → +∞} ln(x) = +∞.
📐 IV. Équations et inéquations
ln est strictement croissante, donc pour a, b > 0 :
• ln(a) = ln(b) ⟺ a = b.
• ln(a) < ln(b) ⟺ a < b.
• ln(x) > k ⟺ x > eᵏ.
• ln(x) < 0 ⟺ 0 < x < 1.
📐 V. Croissances comparées
- lim_{x → +∞} ln(x) / xⁿ = 0 pour tout n > 0.
- lim_{x → 0⁺} x · ln(x) = 0.
- lim_{x → +∞} xⁿ · ln(x) = +∞ pour tout n > 0.
💡 À retenir
• (ln x)’ = 1/x ; (ln u)’ = u’/u.
• ln(xy) = ln x + ln y ; ln(xⁿ) = n · ln x.
• ln strictement croissante : ln a < ln b ⟺ a < b.
• lim x · ln(x) = 0 en 0⁺ ; ln(x)/xⁿ → 0 en +∞.