📘 Les limites de fonctions
La notion de limite formalise le comportement d’une fonction quand la variable tend vers un réel ou vers l’infini. Elle permet de déterminer les asymptotes d’une courbe.
📐 I. Différentes limites possibles
- lim f(x) = ℓ ∈ ℝ quand x → ±∞ : la courbe s’approche de y = ℓ → asymptote horizontale y = ℓ.
- lim f(x) = ±∞ quand x → a : asymptote verticale x = a.
- Limites à gauche (x → a⁻) et à droite (x → a⁺) peuvent être distinctes.
📐 II. Opérations sur les limites
| Situation | Résultat |
|---|---|
| f → ℓ, g → m (ℓ, m ∈ ℝ) | f + g → ℓ + m ; f × g → ℓm ; f/g → ℓ/m si m ≠ 0 |
| f → +∞, g → +∞ | f + g → +∞ ; f × g → +∞ ; F.I. ∞ − ∞ et ∞/∞ |
| f → 0, g → +∞ | F.I. 0 × ∞ → factoriser |
📐 III. Théorèmes de comparaison
- Théorème des gendarmes : si u(x) ≤ f(x) ≤ v(x) et lim u = lim v = ℓ, alors lim f = ℓ.
- Si f(x) ≤ g(x) et f → +∞, alors g → +∞.
📐 IV. Asymptotes
- Asymptote horizontale en +∞ : lim_{x → +∞} f(x) = ℓ → y = ℓ.
- Asymptote verticale en a : lim_{x → a} f(x) = ±∞ → x = a.
- Asymptote oblique y = ax + b : lim_{x → +∞} [f(x) − (ax + b)] = 0.
Méthode : a = lim f(x)/x puis b = lim [f(x) − ax].
📐 V. Croissances comparées (à connaître par cœur)
- lim_{x → +∞} eˣ / xⁿ = +∞ (eˣ domine tout polynôme).
- lim_{x → +∞} ln(x) / xⁿ = 0 pour tout n > 0 (ln dominé par tout xⁿ).
- lim_{x → 0⁺} x · ln(x) = 0.
- lim_{x → +∞} xⁿ · e⁻ˣ = 0 pour tout n > 0.
💡 À retenir
• Asymptote horizontale : lim f = ℓ → y = ℓ.
• Asymptote verticale : lim f = ±∞ → x = a.
• Asymptote oblique : lim [f − (ax + b)] = 0.
• eˣ domine tout polynôme ; ln(x) est dominé par tout xⁿ (n > 0).