📘 Les fonctions trigonométriques
En Terminale, sin et cos sont étudiées comme fonctions dérivables. On maîtrise les formules d’addition, de duplication et de linéarisation, indispensables pour le calcul de primitives et d’intégrales.
📐 I. Rappels et propriétés fondamentales
- Relation fondamentale : cos²(x) + sin²(x) = 1 pour tout x ∈ ℝ.
- Périodicité : sin(x + 2π) = sin(x) et cos(x + 2π) = cos(x). Période : 2π.
- Parité : cos est paire (cos(−x) = cos x) ; sin est impaire (sin(−x) = −sin x).
📐 II. Dérivées
| Fonction | Dérivée | Domaine |
|---|---|---|
| sin(x) | cos(x) | ℝ |
| cos(x) | −sin(x) | ℝ |
| tan(x) | 1/cos²(x) = 1 + tan²(x) | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ |
Si u est dérivable : (sin u)’ = u’ · cos(u) et (cos u)’ = −u’ · sin(u).
📐 III. Formules d’addition
| Formule | Expression |
|---|---|
| sin(a + b) | sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) |
| sin(a − b) | sin(a)cos(b) − cos(a)sin(b) |
| cos(a + b) | cos(a)cos(b) − sin(a)sin(b) |
| cos(a − b) | cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) |
Formules de duplication :
sin(2a) = 2 · sin(a) · cos(a)
cos(2a) = cos²(a) − sin²(a) = 2cos²(a) − 1 = 1 − 2sin²(a)
Formules de linéarisation (essentielles pour les primitives) :
cos²(x) = (1 + cos(2x)) / 2
sin²(x) = (1 − cos(2x)) / 2
sin(x) · cos(x) = sin(2x) / 2
📐 IV. Équations trigonométriques
- sin(θ) = sin(α) ⟺ θ = α + 2kπ ou θ = π − α + 2kπ, k ∈ ℤ.
- cos(θ) = cos(α) ⟺ θ = α + 2kπ ou θ = −α + 2kπ, k ∈ ℤ.
- tan(θ) = tan(α) ⟺ θ = α + kπ, k ∈ ℤ.
💡 À retenir
• (sin u)’ = u’ · cos u ; (cos u)’ = −u’ · sin u.
• sin(a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b.
• cos(2a) = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a.
• Linéarisation : cos²x = (1 + cos 2x)/2 ; sin²x = (1 − cos 2x)/2.