📘 Les primitives
Une primitive de f sur I est toute fonction F dérivable telle que F’ = f. Les primitives d’une même fonction ne diffèrent que d’une constante additive C ∈ ℝ.
📐 I. Définition
F est une primitive de f sur I si F est dérivable sur I et F'(x) = f(x) pour tout x ∈ I.
Si F est une primitive de f, toutes les primitives de f sont de la forme F(x) + C, avec C ∈ ℝ.
📐 II. Tableau des primitives usuelles
| f(x) | Primitive F(x) + C | Domaine |
|---|---|---|
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹ / (n + 1) | ℝ si n ≥ 0 ; ℝ* si n ≤ −2 |
| 1/x | ln|x| | ℝ* |
| eˣ | eˣ | ℝ |
| eᵃˣ (a ≠ 0) | eᵃˣ / a | ℝ |
| sin(x) | −cos(x) | ℝ |
| cos(x) | sin(x) | ℝ |
| sin(ax) | −cos(ax) / a | ℝ |
| cos(ax) | sin(ax) / a | ℝ |
| 1/√x | 2√x | ]0 ; +∞[ |
📐 III. Primitives de fonctions composées (formes à reconnaître)
| f(x) | Primitive |
|---|---|
| u’ · eᵘ | eᵘ |
| u’ / u (u > 0) | ln(u) |
| u’ · uⁿ (n ≠ −1) | uⁿ⁺¹ / (n + 1) |
| u’ · cos(u) | sin(u) |
| u’ · sin(u) | −cos(u) |
| u’ / (2√u) | √u |
📐 IV. Primitive s’annulant en a
L’unique primitive de f s’annulant en a est : F(x) = ∫ₐˣ f(t) dt.
💡 À retenir
• Primitive de xⁿ = xⁿ⁺¹ / (n + 1) (n ≠ −1) ; primitive de 1/x = ln|x|.
• Primitive de eˣ = eˣ ; primitive de u’ · eᵘ = eᵘ.
• Primitive de u’/u = ln(u) (u > 0).
• Primitive de cos = sin ; primitive de sin = −cos.
• Toutes les primitives diffèrent d’une constante C.