📘 Les équations différentielles

Une équation différentielle est une équation dont l’inconnue est une fonction et qui fait intervenir cette fonction et sa dérivée. Au programme de Terminale : y’ = ay et y’ = ay + b.

📐 I. Équation différentielle y’ = ay (a ∈ ℝ)

Solutions générales : toutes les fonctions de la forme
y(x) = C · eᵃˣ, avec C ∈ ℝ.

Solution particulière vérifiant la condition initiale y(x₀) = y₀ :
y(x) = y₀ · eᵃ⁽ˣ⁻ˣ⁰⁾

Exemple : y’ = 3y, y(0) = 2 → y(x) = 2 · e³ˣ.

📐 II. Équation différentielle y’ = ay + b (a ≠ 0, b ∈ ℝ)

Méthode en 3 étapes :

1. Solution constante (point fixe) : y’ = 0 → ay + b = 0 → y = −b/a.
2. Solution générale : y(x) = C · eᵃˣ − b/a, avec C ∈ ℝ.
3. Condition initiale : substituer x = x₀ et y = y₀ pour déterminer C.

Exemple : y’ = 2y + 4, y(0) = 1.
Solution constante : −4/2 = −2.
Solution générale : y(x) = C · e²ˣ − 2.
Condition : 1 = C · 1 − 2 → C = 3.
Solution : y(x) = 3e²ˣ − 2.

📐 III. Modélisation

• y’ = ay : croissance/décroissance exponentielle (population, radioactivité, intérêts composés).
• y’ = ay + b : refroidissement de Newton T'(t) = −k(T − T_ext), circuit RC.

Si a < 0, la solution converge vers −b/a (valeur d’équilibre).

💡 À retenir

• y’ = ay → solutions : y = C · eᵃˣ.
• y’ = ay + b → solution constante −b/a → solutions : y = C · eᵃˣ − b/a.
• Condition initiale y(x₀) = y₀ → détermine C.
• a < 0 → convergence vers la valeur d’équilibre −b/a.