📘 Combinatoire et dénombrement

Le dénombrement consiste à compter le nombre d’arrangements ou de sélections possibles dans un ensemble fini. Il est fondamental pour le calcul des probabilités.

📐 I. Principes de base

• Principe additif : si A et B sont disjoints, card(A ∪ B) = card(A) + card(B).
• Principe multiplicatif : si une expérience se déroule en k étapes avec n₁, n₂, …, nₖ possibilités à chaque étape, le nombre total d’issues est n₁ × n₂ × … × nₖ.

📐 II. Factorielle et arrangements

Factorielle : n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1, avec 0! = 1.

Arrangements de p éléments parmi n (ordre important, sans répétition) :
Aₙᵖ = n! / (n − p)! = n × (n − 1) × … × (n − p + 1)

Exemple : A₅³ = 5 × 4 × 3 = 60.

📐 III. Combinaisons — coefficient binomial

Nombre de façons de choisir p éléments parmi n (ordre non important, sans répétition) :
C(n, p) = n! / (p! × (n − p)!)
Aussi noté Cₙᵖ ou « n choisir p ».

Propriétés fondamentales :

• C(n, 0) = C(n, n) = 1.
• C(n, 1) = C(n, n − 1) = n.
• Symétrie : C(n, p) = C(n, n − p).
• Formule de Pascal : C(n + 1, p + 1) = C(n, p) + C(n, p + 1).

Le triangle de Pascal construit les coefficients : chaque coefficient est la somme des deux coefficients au-dessus.

📐 IV. Formule du binôme de Newton

Pour tous réels a, b et tout entier n ≥ 1 :
(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) × aⁿ⁻ᵏ × bᵏ (somme pour k = 0 à n)

Cas particuliers : (1 + x)² = 1 + 2x + x² ; (1 + x)³ = 1 + 3x + 3x² + x³.

💡 À retenir

• n! = n × (n − 1) × … × 1 ; 0! = 1.
• C(n, p) = n! / (p!(n − p)!).
• Pascal : C(n + 1, p + 1) = C(n, p) + C(n, p + 1).
• Symétrie : C(n, p) = C(n, n − p).
• Binôme : (a + b)ⁿ = Σ C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ.