📘 Les variables aléatoires — lois à densité

Les variables aléatoires continues prennent leurs valeurs dans un intervalle de ℝ. Leur loi est décrite par une fonction densité. On étudie la loi uniforme, la loi exponentielle et la loi normale.

📐 I. Variable aléatoire continue et densité de probabilité

X est une variable aléatoire continue si elle prend ses valeurs dans un intervalle. Sa loi est donnée par une fonction densité f vérifiant :

• f(x) ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ.
• ∫₋∞⁺∞ f(x) dx = 1.
• P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x) dx.

Pour une loi continue : P(X = a) = 0 pour tout réel a.

📐 II. Loi uniforme sur [a ; b]

f(x) = 1/(b − a) sur [a ; b], et f(x) = 0 ailleurs.

• E(X) = (a + b) / 2.
• V(X) = (b − a)² / 12.
• P(c ≤ X ≤ d) = (d − c) / (b − a) pour a ≤ c ≤ d ≤ b.

📐 III. Loi exponentielle de paramètre λ > 0

f(x) = λ · e^(−λx) pour x ≥ 0, et f(x) = 0 pour x < 0.

• E(X) = 1/λ.
• V(X) = 1/λ².
• P(X > t) = e^(−λt) (propriété d’absence de mémoire).
• P(X ≤ t) = 1 − e^(−λt).

📐 IV. Loi normale N(μ, σ²)

Densité : f(x) = 1/(σ√(2π)) × e^(−(x − μ)²/(2σ²)).
Courbe en cloche, symétrique par rapport à x = μ.

Centrage-réduction : si X ~ N(μ, σ²), alors Z = (X − μ)/σ ~ N(0, 1).

Règles empiriques :

💡 À retenir

• P(a ≤ X ≤ b) = ∫ₐᵇ f(x) dx.
• Uniforme : E = (a + b)/2 ; P(c ≤ X ≤ d) = (d − c)/(b − a).
• Exponentielle : P(X > t) = e^(−λt) ; E = 1/λ.
• Normale N(μ, σ²) : centrer-réduire avec Z = (X − μ)/σ.