📘 Loi des grands nombres et inférence statistique
La loi des grands nombres affirme que la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique quand le nombre d’essais augmente. L’inférence statistique utilise un échantillon pour estimer ou tester une proportion.
📐 I. Loi des grands nombres
Si on répète n fois une expérience de probabilité de succès p, la fréquence des succès Fₙ vérifie :
lim_{n → +∞} Fₙ = p (en probabilité).
Plus généralement : si X₁, X₂, …, Xₙ sont indépendantes de même espérance μ, la moyenne empirique X̄ₙ = (X₁ + … + Xₙ)/n converge vers μ.
📐 II. Intervalle de fluctuation au seuil 95 %
Pour n grand, la fréquence Fₙ reste proche de p avec probabilité ≥ 95 %.
Intervalle de fluctuation au seuil 95 % :I = [p − 1/√n ; p + 1/√n]
Conditions de validité : np ≥ 5, n(1 − p) ≥ 5 et n ≥ 30.
📐 III. Intervalle de confiance au seuil 95 %
À partir d’une fréquence observée f sur un échantillon de taille n, l’intervalle de confiance à 95 % pour la proportion réelle p est :IC = [f − 1/√n ; f + 1/√n]
Interprétation : dans 95 % des échantillons, l’intervalle construit contient la vraie valeur de p.
📐 IV. Test d’hypothèse au seuil 5 %
Pour tester l’hypothèse H₀ : « la proportion vaut p₀ » :
- Calculer l’intervalle de fluctuation I = [p₀ − 1/√n ; p₀ + 1/√n].
- Observer la fréquence f dans l’échantillon.
- Si f ∉ I : rejeter H₀ au seuil 5 % (résultat significatif).
- Si f ∈ I : ne pas rejeter H₀ (résultat compatible avec H₀).
📐 V. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
P(|Fₙ − p| ≥ ε) ≤ 1/(4nε²)
Permet de majorer la probabilité que la fréquence s’écarte de plus de ε de p, sans hypothèse sur la distribution.
💡 À retenir
• Fₙ → p quand n → +∞ (loi des grands nombres).
• Intervalle de fluctuation à 95 % : [p ± 1/√n].
• Intervalle de confiance à 95 % : [f ± 1/√n].
• Test : f ∉ [p₀ ± 1/√n] → rejeter H₀ au seuil 5 %.