📘 Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Dans l’espace, les droites se décrivent par des représentations paramétriques et les plans par des équations cartésiennes faisant intervenir le vecteur normal.

📐 I. Représentation paramétrique d’une droite

La droite passant par A(xₐ ; yₐ ; zₐ) de vecteur directeur u⃗(a ; b ; c) :
x = xₐ + at
y = yₐ + bt , t ∈ ℝ
z = zₐ + ct
Tout point de la droite correspond à une valeur de t ∈ ℝ.

📐 II. Équation cartésienne d’un plan

Le plan de vecteur normal n⃗(a ; b ; c) passant par A(xₐ ; yₐ ; zₐ) a pour équation :
a(x − xₐ) + b(y − yₐ) + c(z − zₐ) = 0
Sous forme développée : ax + by + cz + d = 0, où d ∈ ℝ.
Réciproquement, ax + by + cz + d = 0 (avec (a, b, c) ≠ (0, 0, 0)) est toujours l’équation d’un plan de vecteur normal n⃗(a ; b ; c).

📐 III. Représentation paramétrique d’un plan

Le plan passant par A(xₐ ; yₐ ; zₐ) et de vecteurs directeurs u⃗(a ; b ; c) et v⃗(α ; β ; γ) :
x = xₐ + at + αs
y = yₐ + bt + βs , t ∈ ℝ, s ∈ ℝ
z = zₐ + ct + γs

📐 IV. Sphère

La sphère de centre Ω(a ; b ; c) et de rayon R a pour équation :
(x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R²

📐 V. Intersections et projeté orthogonal

Droite ∩ plan : substituer les équations paramétriques de la droite dans l’équation du plan → résoudre en t → calculer le point.

Plan ∩ plan : résoudre le système de deux équations cartésiennes → droite d’intersection (ou ∅ si plans parallèles).

Projeté orthogonal H de A sur le plan 𝒫 :

1. Écrire la droite (AH) passant par A avec vecteur directeur = vecteur normal de 𝒫.
2. Trouver t tel que le point appartient à 𝒫.
3. Calculer les coordonnées de H.

💡 À retenir

• Droite : passe par A, direction u⃗ → x = xₐ + at, y = yₐ + bt, z = zₐ + ct.
• Plan : vecteur normal n⃗(a ; b ; c) → équation ax + by + cz + d = 0.
• Sphère : (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = R².
• Droite ⊥ plan ⟺ vecteur directeur = vecteur normal du plan.