📘 Le calcul intégral

L’intégrale d’une fonction continue sur [a ; b] se calcule à l’aide des primitives. Elle représente une aire algébrique sous la courbe.

📐 I. Définition de l’intégrale

Soit f continue sur [a ; b]. L’intégrale de f sur [a ; b] est notée ∫ₐᵇ f(x) dx.
Si f ≥ 0 : c’est l’aire (en unités d’aire) entre la courbe, l’axe des abscisses et les droites x = a, x = b.
Si f ≤ 0 : l’intégrale est négative (opposé de l’aire).

📐 II. Théorème fondamental du calcul intégral

Si F est une primitive de f sur [a ; b] :
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) = [F(x)]ₐᵇ

Exemple : ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 − 0 = 8/3.

📐 III. Propriétés de l’intégrale

• Linéarité : ∫ₐᵇ (λf + μg) dx = λ ∫ₐᵇ f dx + μ ∫ₐᵇ g dx.
• Relation de Chasles : ∫ₐᵇ f dx = ∫ₐᶜ f dx + ∫ᶜᵇ f dx.
• Sens d’intégration : ∫ₐᵇ f dx = −∫ᵦₐ f dx et ∫ₐₐ f dx = 0.
• Positivité : si f ≥ 0 sur [a ; b] alors ∫ₐᵇ f dx ≥ 0.
• Comparaison : si f ≤ g sur [a ; b] alors ∫ₐᵇ f dx ≤ ∫ₐᵇ g dx.

📐 IV. Valeur moyenne

La valeur moyenne de f sur [a ; b] est :
m = 1/(b − a) × ∫ₐᵇ f(x) dx

📐 V. Aire entre deux courbes

Aire entre les courbes de f et g sur [a ; b], avec f(x) ≥ g(x) sur [a ; b] :
A = ∫ₐᵇ [f(x) − g(x)] dx
Si les courbes se croisent, séparer l’intervalle aux points d’intersection et sommer les valeurs absolues.

📐 VI. Intégration par parties

Pour u et v dérivables sur [a ; b] :
∫ₐᵇ u(x) · v'(x) dx = [u(x) · v(x)]ₐᵇ − ∫ₐᵇ u'(x) · v(x) dx
Utile pour ∫ x · eˣ dx, ∫ x · ln(x) dx, ∫ x · sin(x) dx, etc.

💡 À retenir

• ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a) = [F(x)]ₐᵇ.
• Chasles : ∫ₐᵇ = ∫ₐᶜ + ∫ᶜᵇ.
• Valeur moyenne : 1/(b − a) × ∫ₐᵇ f.
• Aire entre f et g : ∫ₐᵇ |f − g| dx (séparer si croisement).