📘 Les suites — approfondissement Terminale
En Terminale, on approfondit l’étude des suites : limites, opérations sur les limites, suites arithmético-géométriques et raisonnement par récurrence.
📐 I. Limite d’une suite
On dit que (uₙ) converge vers ℓ si uₙ se rapproche indéfiniment de ℓ : lim uₙ = ℓ.
On dit que (uₙ) diverge vers +∞ (resp. −∞) si uₙ devient arbitrairement grand (resp. petit).
Limites des suites géométriques uₙ = u₀ × qⁿ :
| Raison q | Limite de uₙ (si u₀ > 0) |
|---|---|
| q > 1 | +∞ |
| 0 < q < 1 | 0 |
| q = 1 | u₀ (suite constante) |
| −1 < q < 0 | 0 |
| q ≤ −1 | pas de limite |
📐 II. Opérations sur les limites
Si lim uₙ = ℓ et lim vₙ = ℓ’ :
- lim (uₙ + vₙ) = ℓ + ℓ’ (sauf forme indéterminée ∞ − ∞).
- lim (uₙ × vₙ) = ℓ × ℓ’ (sauf F.I. 0 × ∞).
- lim (uₙ / vₙ) = ℓ / ℓ’ si ℓ’ ≠ 0 (sauf F.I. ∞/∞ ou 0/0).
Formes indéterminées : ∞ − ∞ ; 0 × ∞ ; ∞/∞ ; 0/0 → factoriser par le terme dominant.
📐 III. Théorèmes de comparaison
- Théorème des gendarmes : si uₙ ≤ wₙ ≤ vₙ et lim uₙ = lim vₙ = ℓ, alors lim wₙ = ℓ.
- Si uₙ ≤ vₙ et lim uₙ = +∞, alors lim vₙ = +∞.
- Suite croissante majorée : converge. Suite décroissante minorée : converge.
📐 IV. Raisonnement par récurrence
Pour démontrer que la propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀ :
- Initialisation : vérifier P(n₀).
- Hérédité : supposer P(n) vraie (hypothèse de récurrence) et démontrer P(n + 1).
- Conclusion : par le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.
📐 V. Suites arithmético-géométriques
Suite de la forme uₙ₊₁ = a · uₙ + b (avec a ≠ 1) :
1) Chercher le point fixe ℓ : ℓ = a · ℓ + b → ℓ = b / (1 − a).
2) Poser vₙ = uₙ − ℓ → (vₙ) est géométrique de raison a.
3) Conclure : uₙ = ℓ + (u₀ − ℓ) × aⁿ.
💡 À retenir
• qⁿ → 0 si |q| < 1 ; qⁿ → +∞ si q > 1.
• Récurrence : initialisation + hérédité.
• Suite croissante majorée → converge.
• Arithmético-géométrique : point fixe ℓ, puis vₙ = uₙ − ℓ géométrique de raison a.