📘 Le produit scalaire dans l’espace

Le produit scalaire de deux vecteurs de l’espace est défini comme dans le plan. Il permet de caractériser l’orthogonalité des vecteurs, des droites et des plans en 3D.

📐 I. Définition

Soient u⃗ et v⃗ deux vecteurs de l’espace. Le produit scalaire est :

u⃗ · v⃗ = ‖u⃗‖ × ‖v⃗‖ × cos(u⃗, v⃗)

Convention : si l’un des vecteurs est nul, u⃗ · v⃗ = 0.

📐 II. Propriétés opératoires

• Symétrie : u⃗ · v⃗ = v⃗ · u⃗.
• Bilinéarité : u⃗ · (v⃗ + w⃗) = u⃗ · v⃗ + u⃗ · w⃗ et (λu⃗) · v⃗ = λ(u⃗ · v⃗).
• Carré scalaire : u⃗ · u⃗ = ‖u⃗‖².

Identités remarquables vectorielles :

‖u⃗ + v⃗‖² = ‖u⃗‖² + 2(u⃗ · v⃗) + ‖v⃗‖²
‖u⃗ − v⃗‖² = ‖u⃗‖² − 2(u⃗ · v⃗) + ‖v⃗‖²
(u⃗ + v⃗) · (u⃗ − v⃗) = ‖u⃗‖² − ‖v⃗‖²

📐 III. Expression analytique dans un repère orthonormé

Dans un repère orthonormé (O ; i⃗, j⃗, k⃗), si u⃗(x ; y ; z) et v⃗(x’ ; y’ ; z’) :

u⃗ · v⃗ = xx’ + yy’ + zz’

Distance entre deux points :

AB = √[(x_B − x_A)² + (y_B − y_A)² + (z_B − z_A)²]

📐 IV. Orthogonalité dans l’espace

• Vecteurs orthogonaux : u⃗ ⊥ v⃗ ⟺ u⃗ · v⃗ = 0.
• Droites orthogonales : D ⊥ D’ ⟺ leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux (vrai même pour des droites gauches).
• Vecteur normal : Un vecteur n⃗ est normal à un plan P s’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.
• Plans perpendiculaires : P ⊥ P’ ⟺ leurs vecteurs normaux respectifs sont orthogonaux.

📐 V. Base orthonormée

Une base (i⃗, j⃗, k⃗) est orthonormée si les vecteurs sont orthogonaux deux à deux et de norme 1 :

i⃗ · j⃗ = 0 ; i⃗ · k⃗ = 0 ; j⃗ · k⃗ = 0 et ‖i⃗‖ = ‖j⃗‖ = ‖k⃗‖ = 1.

💡 À retenir

• Formule analytique : u⃗ · v⃗ = xx’ + yy’ + zz’.
• Orthogonalité : u⃗ · v⃗ = 0.
• Équation de plan : Un plan de vecteur normal n⃗(a ; b ; c) a une équation de la forme ax + by + cz + d = 0.
• Droites gauches : Elles peuvent être orthogonales sans jamais se croiser.