📘 La loi binomiale
La loi binomiale B(n, p) modélise le nombre de succès lors de n répétitions indépendantes d’une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès p.
📐 I. Épreuve de Bernoulli et schéma de Bernoulli
Épreuve de Bernoulli : expérience à deux issues : succès S (probabilité p) et échec Ē (probabilité 1 − p).
Schéma de Bernoulli : n répétitions indépendantes d’une même épreuve de Bernoulli de paramètre p. La probabilité de succès est constante à chaque épreuve.
📐 II. Loi binomiale B(n, p)
Si X est le nombre de succès lors d’un schéma de Bernoulli à n épreuves de paramètre p, alors X suit la loi binomiale B(n, p).
Probabilité d’obtenir exactement k succès (k ∈ {0, 1, …, n}) :P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
Vérification : Σ P(X = k) = 1 pour k de 0 à n (binôme de Newton).
📐 III. Espérance, variance, écart-type
| Paramètre | Valeur pour X ~ B(n, p) |
|---|---|
| Espérance E(X) | np |
| Variance V(X) | np(1 − p) |
| Écart-type σ(X) | √(np(1 − p)) |
Interprétation : en moyenne, on obtient np succès sur n épreuves.
📐 IV. Calcul de probabilités cumulées
- P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1).
- P(a ≤ X ≤ b) = P(X ≤ b) − P(X ≤ a − 1).
Sur calculatrice : binomFdp(n, p, k) pour P(X = k) ; binomFRép(n, p, k) pour P(X ≤ k).
💡 À retenir
• P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
• E(X) = np ; V(X) = np(1 − p).
• P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1).
• Conditions : n épreuves indépendantes, probabilité de succès constante.