📘 La continuité
Une fonction est continue en un point si sa courbe ne présente pas de saut. Le théorème des valeurs intermédiaires garantit l’existence de zéros pour les fonctions continues.
📐 I. Définition
f est continue en a si lim_{x → a} f(x) = f(a).
f est continue sur I si elle est continue en tout point de I.
Fonctions continues sur leur ensemble de définition : polynômes, fractions rationnelles, eˣ, ln(x), sin(x), cos(x), √x.
Somme, produit, quotient (dénominateur non nul) et composée de fonctions continues → fonction continue.
⚠️ Toute fonction dérivable sur I est continue sur I. La réciproque est fausse (ex. : |x| est continue en 0 mais non dérivable).
📐 II. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Soit f continue sur [a ; b] et k un réel compris entre f(a) et f(b). Alors il existe au moins un réel c ∈ [a ; b] tel que f(c) = k.
Corollaire — existence d’un zéro : si f(a) × f(b) < 0, alors il existe au moins un c ∈ ]a ; b[ tel que f(c) = 0.
Unicité : si f est de plus strictement monotone sur [a ; b], ce zéro est unique.
📐 III. Continuité et suites
Si f est continue en ℓ et lim uₙ = ℓ, alors lim f(uₙ) = f(ℓ).
Application : si uₙ₊₁ = f(uₙ) et lim uₙ = ℓ, alors ℓ est un point fixe de f : f(ℓ) = ℓ.
📐 IV. Méthode de dichotomie
Pour approcher un zéro de f sur [a ; b] (f continue, changement de signe) :
- Calculer m = (a + b) / 2.
- Si f(a) × f(m) ≤ 0 : le zéro est dans [a ; m], remplacer b par m. Sinon remplacer a par m.
- Répéter jusqu’à la précision souhaitée. La longueur de l’intervalle est divisée par 2 à chaque étape.
💡 À retenir
• Continuité en a : lim f(x) = f(a).
• TVI : f(a) × f(b) < 0 → ∃ zéro dans ]a ; b[.
• Unicité si f strictement monotone.
• Point fixe : lim uₙ = ℓ avec uₙ₊₁ = f(uₙ) → f(ℓ) = ℓ.