📘 La dérivation — approfondissement Terminale
En Terminale, la dérivation s’enrichit de la dérivée des fonctions composées, de la dérivée seconde et de la notion de convexité/concavité.
📐 I. Dérivée de la composée f ∘ g
Si g est dérivable en x et f dérivable en g(x) :(f ∘ g)'(x) = g'(x) × f'(g(x))
Cas particuliers à connaître :
| f(g(x)) | Dérivée |
|---|---|
| uⁿ (n ∈ ℤ) | n · u’ · uⁿ⁻¹ |
| eᵘ | u’ · eᵘ |
| ln(u) avec u > 0 | u’ / u |
| √u avec u > 0 | u’ / (2√u) |
| 1/u avec u ≠ 0 | −u’ / u² |
| sin(u) | u’ · cos(u) |
| cos(u) | −u’ · sin(u) |
📐 II. Tableau récapitulatif des dérivées usuelles
| f(x) | f'(x) | Domaine de dérivabilité |
|---|---|---|
| xⁿ (n ∈ ℤ) | n · xⁿ⁻¹ | ℝ (ou ℝ* si n ≤ −1) |
| eˣ | eˣ | ℝ |
| ln(x) | 1/x | ]0 ; +∞[ |
| sin(x) | cos(x) | ℝ |
| cos(x) | −sin(x) | ℝ |
| tan(x) | 1/cos²(x) = 1 + tan²(x) | x ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ |
📐 III. Dérivée seconde et convexité
La dérivée seconde f”(x) est la dérivée de f'(x).
- f” > 0 sur I → f est convexe sur I (courbe en ∪, tangentes en dessous de la courbe).
- f” < 0 sur I → f est concave sur I (courbe en ∩, tangentes au-dessus de la courbe).
- f”(a) = 0 et f” change de signe en a → point d’inflexion en a.
📐 IV. Rappel des règles de dérivation
- (u + v)’ = u’ + v’
- (u × v)’ = u’v + uv’
- (u/v)’ = (u’v − uv’) / v²
💡 À retenir
• Composée : (f(g(x)))’ = g'(x) · f'(g(x)).
• (eᵘ)’ = u’ · eᵘ ; (ln u)’ = u’ / u.
• f” > 0 → convexe (∪) ; f” < 0 → concave (∩).
• Point d’inflexion : f” s’annule et change de signe.