📘 Les triangles semblables
Deux triangles sont semblables s’ils ont les mêmes angles. Leurs côtés sont alors proportionnels. Cette propriété permet de calculer des longueurs inconnues.
📐 I. Définition et conditions de similitude
Deux triangles sont semblables si l’un est l’image de l’autre par une similitude (homothétie + éventuellement rotation/symétrie). Concrètement, deux triangles sont semblables si :
| Cas | Condition |
|---|---|
| AA | Ils ont deux angles égaux (le troisième est automatiquement égal) |
| côtés proportionnels + angle égal | Deux côtés proportionnels et l’angle compris entre eux est égal |
| 3 côtés proportionnels | Les trois côtés sont dans le même rapport k |
📐 II. Propriétés des triangles semblables
Si les triangles ABC et A’B’C’ sont semblables avec le rapport de similitude k (k = A’B’/AB), alors :
- Tous les angles sont égaux : Â = Â’, B̂ = B̂’, Ĉ = Ĉ’
- Les côtés sont proportionnels : A’B’/AB = B’C’/BC = A’C’/AC = k
- Les périmètres sont proportionnels : P’/P = k
- Les aires sont dans le rapport k² : Aire’/Aire = k²
Exemple : Si AB = 6, BC = 8, AC = 10 et A’B’ = 3, alors k = 3/6 = 1/2.
B’C’ = 8 × 1/2 = 4, A’C’ = 10 × 1/2 = 5.
📐 III. Utilisation pour calculer des longueurs
Quand deux triangles sont semblables, on écrit l’égalité des rapports et on utilise le produit en croix.
Exemple : triangles MNP et M’N’P’ semblables avec MN = 12, NP = 9, M’N’ = 8. Trouver N’P’.
MN/M’N’ = NP/N’P’ → 12/8 = 9/N’P’ → N’P’ = 9 × 8/12 = 6.
💡 À retenir
• Triangles semblables : angles égaux et côtés proportionnels.
• Rapport de similitude k : côtés × k, périmètres × k, aires × k².
• Condition suffisante : 2 angles égaux (AA).