📘 Les équations

Résoudre une équation, c’est trouver la ou les valeurs d’une inconnue qui rendent l’égalité vraie. Les équations du premier degré et du second degré (factorisées) sont au programme du Brevet.

📐 I. Équations du premier degré à une inconnue

Une équation du 1er degré est de la forme ax + b = 0 (ou équivalente). Elle admet une unique solution si a ≠ 0.

Règles de résolution :
• On peut ajouter ou soustraire le même nombre des deux membres.
• On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.

Exemple : 3x − 7 = 2x + 5
→ 3x − 2x = 5 + 7
→ x = 12 → La solution est x = 12.

Exemple avec fractions : (2x + 1)/3 = (x − 2)/2
→ Multiplier par 6 (PPCM de 3 et 2) : 2(2x + 1) = 3(x − 2)
→ 4x + 2 = 3x − 6
→ x = −8

📐 II. Équations produit nul

Un produit est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul :
A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0

Exemple : (2x − 6)(x + 3) = 0
→ 2x − 6 = 0 ou x + 3 = 0
→ x = 3 ou x = −3 → Les solutions sont x = 3 et x = −3.

Pour utiliser cette méthode, l’expression doit être factorisée et égale à 0.

📐 III. Inéquations du premier degré

Même méthode que les équations, mais attention :
• Si on multiplie ou divise par un nombre négatif, le sens de l’inégalité s’inverse.

Exemple : −2x + 5 > 1
→ −2x > −4
→ x < 2 (division par −2 : inversion du sens)
→ Solution : x < 2, soit ]−∞ ; 2[.

📐 IV. Systèmes d’équations (deux inconnues)

Un système de deux équations à deux inconnues peut se résoudre par :
• Substitution : exprimer une inconnue en fonction de l’autre dans une équation, puis remplacer dans l’autre.
• Combinaison linéaire : additionner ou soustraire les équations pour éliminer une inconnue.

Exemple par substitution :
{ x + y = 10
{ 2x − y = 5
De la 1ère : y = 10 − x. On remplace dans la 2ème : 2x − (10 − x) = 5 → 3x = 15 → x = 5. Donc y = 5.
→ Solution : (x ; y) = (5 ; 5).

💡 À retenir

• Équation du 1er degré : isoler l’inconnue en effectuant les mêmes opérations des deux côtés.
• Produit nul : A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0.
• Inéquation : diviser par un négatif → inverser le sens de l’inégalité.
• Vérification : toujours substituer la solution dans l’équation de départ.