📘 La distributivité
La distributivité est la règle fondamentale qui permet de développer ou de factoriser des expressions algébriques. Elle est au cœur de nombreux calculs en algèbre et de la résolution d’équations.
📐 I. La distributivité simple
k(a + b) = ka + kb
k(a − b) = ka − kb
Exemples :
• 3(2x + 5) = 6x + 15
• −2(3x − 4) = −6x + 8
• 5x(x + 3) = 5x² + 15x
📐 II. La distributivité double — développement
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Méthode : multiplier chaque terme du premier facteur par chaque terme du second.
Exemple : (2x + 3)(x − 1)
= 2x × x + 2x × (−1) + 3 × x + 3 × (−1)
= 2x² − 2x + 3x − 3
= 2x² + x − 3
📐 III. Les identités remarquables
Trois formules à connaître absolument :
| Identité | Formule développée | Exemple |
|---|---|---|
| (a + b)² | a² + 2ab + b² | (x + 3)² = x² + 6x + 9 |
| (a − b)² | a² − 2ab + b² | (x − 5)² = x² − 10x + 25 |
| (a + b)(a − b) | a² − b² | (x + 4)(x − 4) = x² − 16 |
📐 IV. La factorisation
Factoriser = écrire une somme comme un produit (opération inverse du développement).
Méthodes :
1. Facteur commun : ka + kb = k(a + b)
Ex. : 6x² + 9x = 3x(2x + 3)
2. Identité remarquable « à l’envers » :
x² − 16 = (x + 4)(x − 4)
x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Comment trouver le facteur commun : chercher le plus grand facteur qui divise tous les termes (nombres ET variables).
💡 À retenir
• Développer : produit → somme (distributivité).
• Factoriser : somme → produit (facteur commun ou identité remarquable).
• Les 3 identités remarquables : (a+b)², (a−b)², (a+b)(a−b) = a²−b².
• Vérification possible : développer la forme factorisée doit redonner la forme développée.