📘 La représentation dans l’espace
La géométrie dans l’espace nécessite de savoir reconnaître, décrire et représenter des solides. La perspective cavalière est le mode de représentation en plan des solides usuels.
📐 I. Les solides usuels
| Solide | Faces | Arêtes | Sommets |
|---|---|---|---|
| Cube | 6 carrés | 12 | 8 |
| Pavé droit | 6 rectangles | 12 | 8 |
| Prisme droit (triangulaire) | 2 triangles + 3 rectangles | 9 | 6 |
| Pyramide à base carrée | 1 carré + 4 triangles | 8 | 5 |
| Cylindre | 2 disques + 1 surface latérale | — | — |
| Cône | 1 disque + 1 surface latérale | — | 1 (sommet) |
| Sphère | 1 surface sphérique | — | — |
Relation d’Euler (polyèdres) : Sommets − Arêtes + Faces = 2
📐 II. La perspective cavalière
En perspective cavalière :
• Les faces de face sont dessinées en vraie grandeur.
• Les arêtes fuyantes (vers la profondeur) sont tracées avec un angle de 45° et réduites à la moitié de leur longueur réelle.
• Les arêtes parallèles restent parallèles dans le dessin.
• Les arêtes cachées sont en pointillés.
📐 III. Patrons (développements)
Le patron d’un solide est une figure plane que l’on peut plier pour obtenir ce solide.
• Vérifier qu’un patron est valide : les faces s’assemblent correctement, sans chevauchement ni manque.
• Patron du cube : 6 carrés assemblés en croix (parmi 11 configurations valides).
• Patron du cylindre : 2 cercles de rayon r + 1 rectangle de largeur 2πr et de hauteur h.
📐 IV. Sections planes et positions relatives
Droites dans l’espace : sécantes (se croisent), parallèles (dans le même plan, sans point commun), coplanaires ou non coplanaires.
Plans : sécants (se coupent selon une droite) ou parallèles.
Section d’un cube par un plan : selon l’orientation, on obtient un carré, un rectangle, un triangle, un hexagone régulier, etc.
💡 À retenir
• Euler : Sommets − Arêtes + Faces = 2.
• Perspective cavalière : arêtes fuyantes à 45° et longueur × 1/2.
• Arêtes cachées en pointillés.
• Patron cylindre : rectangle de largeur 2πr.