📘 Les probabilités
Les probabilités mesurent la chance qu’un événement se produise. Elles s’appliquent à des expériences aléatoires dont on connaît tous les résultats possibles mais pas celui qui se réalisera.
📐 I. Vocabulaire des probabilités
| Terme | Définition | Exemple (dé à 6 faces) |
|---|---|---|
| Expérience aléatoire | Expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat | Lancer un dé |
| Univers Ω | Ensemble de tous les résultats possibles | Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} |
| Issue / résultat élémentaire | Un résultat possible de l’expérience | Obtenir 4 |
| Événement | Sous-ensemble de l’univers | A = « obtenir un nombre pair » = {2, 4, 6} |
| Événement certain | P = 1 — se réalise toujours | Obtenir un nombre entre 1 et 6 |
| Événement impossible | P = 0 — ne se réalise jamais | Obtenir 7 |
📐 II. Calcul des probabilités
Pour une expérience aléatoire à issues également probables :
P(A) = nombre de résultats favorables à A / nombre total de résultats
Propriétés :
• 0 ≤ P(A) ≤ 1 pour tout événement A.
• P(Ω) = 1 (événement certain).
• P(∅) = 0 (événement impossible).
• Événement contraire : P(Ā) = 1 − P(A).
Exemple — dé à 6 faces :
P(pair) = 3/6 = 1/2. P(impair) = 1 − 1/2 = 1/2.
P(obtenir 5) = 1/6.
📐 III. Probabilités et fréquences
La fréquence observée d’un événement lors d’une expérience répétée n fois converge vers sa probabilité quand n devient très grand (loi des grands nombres).
Tableau et arbre des probabilités :
• Tableau de contingence : utile pour deux caractères simultanés.
• Arbre de probabilités : pour des expériences à plusieurs étapes (on multiplie les probabilités le long d’une branche, on additionne les probabilités des branches correspondant à un même événement).
Exemple — arbre : boîte avec 3 boules rouges (R) et 2 bleues (B), tirage de 2 boules sans remise :
P(1ère R) = 3/5 ; P(2ème R | 1ère R) = 2/4 = 1/2
P(RR) = 3/5 × 1/2 = 3/10
💡 À retenir
• P(A) = résultats favorables / résultats totaux (si équiprobabilité).
• P(Ā) = 1 − P(A) (événement contraire).
• 0 ≤ P ≤ 1 ; P(certain) = 1 ; P(impossible) = 0.
• Arbre : multiplier le long des branches, additionner entre les branches.