📘 La trigonométrie dans le triangle rectangle

La trigonométrie permet de calculer des longueurs et des angles dans un triangle rectangle à partir des rapports entre les côtés. Les trois rapports trigonométriques (cosinus, sinus, tangente) sont fondamentaux pour le Brevet.

📐 I. Rappel : le triangle rectangle et le théorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle ABC rectangle en C :
• L’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit) est le plus grand côté : AB.
• Théorème de Pythagore : AB² = AC² + BC²
• Réciproque : si AB² = AC² + BC² alors le triangle est rectangle en C.

📐 II. Les rapports trigonométriques

Dans un triangle ABC rectangle en C, pour l’angle aigu  (en A) :

Moyen mnémotechnique global : SOH-CAH-TOA

📐 III. Calculer une longueur

Exemple : Triangle ABC rectangle en C. AB = 10, angle A = 35°. Calculer AC et BC.

cos 35° = AC/AB → AC = AB × cos 35° = 10 × cos 35° ≈ 10 × 0,819 ≈ 8,19
sin 35° = BC/AB → BC = AB × sin 35° = 10 × sin 35° ≈ 10 × 0,574 ≈ 5,74

Vérification avec Pythagore : 8,19² + 5,74² ≈ 67,1 + 32,9 = 100 = 10² ✓

📐 IV. Calculer un angle

Si on connaît deux côtés, on calcule l’angle en utilisant la fonction inverse :
cos  = AC/AB →  = arccos(AC/AB) (touche cos⁻¹ ou acos de la calculatrice)
sin  = BC/AB →  = arcsin(BC/AB)
tan  = BC/AC →  = arctan(BC/AC)

Exemple : BC = 5, AC = 8. tan  = 5/8 = 0,625 →  = arctan(0,625) ≈ 32°.

💡 À retenir

• SOH-CAH-TOA : sin = Opposé/Hypoténuse, cos = Adjacent/Hypoténuse, tan = Opposé/Adjacent.
• Relation fondamentale : cos²A + sin²A = 1.
• Angles remarquables à connaître :