📘 Les fonctions
Une fonction est une relation qui à chaque valeur d’une variable x associe au plus une valeur y. Les fonctions linéaires et affines sont le cœur du programme de 3ème, avec leur représentation graphique.
📐 I. Notion de fonction
Une fonction f associe à tout nombre x de l’ensemble de définition un unique nombre f(x) (image de x).
• Antécédent : x est l’antécédent de f(x).
• Image : f(x) est l’image de x par f.
• Notation : y = f(x).
Exemple : f(x) = 2x + 3 → f(4) = 2 × 4 + 3 = 11. L’image de 4 est 11.
📐 II. Les fonctions linéaires
f(x) = ax (a constante non nulle) — la représentation graphique est une droite passant par l’origine O(0,0).
• Coefficient directeur (pente) = a.
• Si a > 0 : droite croissante. Si a < 0 : droite décroissante.
• Exemple : f(x) = 3x → droite passant par (0,0) et (1,3).
📐 III. Les fonctions affines
f(x) = ax + b (a et b constantes, a ≠ 0) — représentation graphique : droite non passant par l’origine si b ≠ 0.
• a = coefficient directeur (pente) : mesure la variation de f quand x augmente de 1.
• b = ordonnée à l’origine (valeur de f(0)).
• Cas particulier : a = 0 → f(x) = b (fonction constante, droite horizontale).
Déterminer a et b à partir de deux points (x₁, y₁) et (x₂, y₂) :
a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
puis b = y₁ − a × x₁
📐 IV. Lecture graphique et sens de variation
Sur la représentation graphique d’une droite d’équation y = ax + b :
• f est croissante ⟺ a > 0 (la droite monte de gauche à droite).
• f est décroissante ⟺ a < 0 (la droite descend de gauche à droite).
• f est constante ⟺ a = 0 (droite horizontale).
Résoudre graphiquement f(x) = k : tracer la droite y = k et lire l’abscisse de l’intersection.
Résoudre f(x) = g(x) : lire l’abscisse du point d’intersection des deux droites.
Tableau de valeurs : choisir plusieurs valeurs de x, calculer f(x) pour chacune, placer les points et tracer la droite.
💡 À retenir
• f(x) = ax : linéaire → droite par O.
• f(x) = ax + b : affine → droite de pente a et d’ordonnée à l’origine b.
• a = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) pour calculer le coefficient directeur.
• a > 0 → croissante ; a < 0 → décroissante ; a = 0 → constante.