📘 Les puissances et la racine carrée
Les puissances permettent d’écrire des multiplications répétées de façon compacte. La racine carrée est l’opération inverse de l’élévation au carré. Ces notions sont fondamentales pour les calculs algébriques et l’écriture scientifique.
📐 I. Les puissances d’exposant positif
aⁿ = a × a × … × a (n facteurs). L’entier n est l’exposant.
Propriétés fondamentales :
| Propriété | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit de puissances (même base) | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 3² × 3⁴ = 3⁶ |
| Quotient de puissances (même base) | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 5⁷ ÷ 5³ = 5⁴ |
| Puissance d’une puissance | (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ | (2³)⁴ = 2¹² |
| Puissance d’un produit | (a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ | (2 × 5)³ = 2³ × 5³ |
| Puissance d’un quotient | (a/b)ⁿ = aⁿ/bⁿ | (3/4)² = 9/16 |
| Exposant 0 | a⁰ = 1 (a ≠ 0) | 13⁰ = 1 |
| Exposant 1 | a¹ = a | 7¹ = 7 |
📐 II. L’inverse et les puissances négatives
Inverse : L’inverse de a (a ≠ 0) est 1/a. L’inverse de a/b est b/a.
Diviser par a = multiplier par 1/a.
Diviser par a/b = multiplier par b/a.
Puissances d’exposant négatif : a⁻ⁿ = 1/aⁿ
| Formule | Exemple |
|---|---|
| a⁻ⁿ = 1/aⁿ | 5⁻³ = 1/125 |
| 10⁻¹ = 0,1 | 10⁻² = 0,01 |
| 10⁻³ = 0,001 | 10⁻⁶ = 0,000001 |
⚠️ Ne pas confondre inverse (1/a) et opposé (−a) : l’inverse de 5 est 0,2, pas −5.
📐 III. La racine carrée
La racine carrée de a (a ≥ 0) est le nombre positif b tel que b² = a. On note b = √a.
• √0 = 0 ; √1 = 1 ; √4 = 2 ; √9 = 3 ; √16 = 4 ; √25 = 5 ; √36 = 6 ; √49 = 7 ; √64 = 8 ; √81 = 9 ; √100 = 10.
• Les carrés parfaits à connaître : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 225.
• Un nombre négatif n’a pas de racine carrée dans les réels.
• √(a²) = |a| = a si a ≥ 0.
• Propriété : √(a × b) = √a × √b (si a, b ≥ 0).
💡 À retenir
• aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ; aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ ; (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ.
• a⁰ = 1 (a ≠ 0) ; a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
• Carrés parfaits jusqu’à 15² = 225 à mémoriser.
• √a est définie uniquement pour a ≥ 0.