📘 Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs dans des configurations avec des droites parallèles et un point extérieur. Sa réciproque permet de démontrer que des droites sont parallèles.

📐 I. Le théorème de Thalès

Configuration de base : Soient deux droites (d₁) et (d₂) sécantes en un point S. Soient A et B sur (d₁), M et N sur (d₂), tels que (AB) ∥ (MN).

Énoncé : Si (AB) ∥ (MN), alors :
SA/SM = SB/SN = AB/MN

Les rapports des longueurs des segments correspondants sont égaux.

Exemple :
SA = 6, SM = 9, SB = 4, (AB) ∥ (MN).
SA/SM = 6/9 = 2/3 → SB/SN = 2/3 → SN = 4 × 3/2 = 6.
AB/MN = 2/3 → si AB = 5, alors MN = 5 × 3/2 = 7,5.

📐 II. La réciproque du théorème de Thalès

Énoncé : Si SA/SM = SB/SN (les points étant dans la configuration de base : S, A, M alignés et S, B, N alignés), alors (AB) ∥ (MN).

Usage : pour démontrer que deux droites sont parallèles, calculer les deux rapports et vérifier qu’ils sont égaux.

📐 III. Configurations et pièges

Deux configurations classiques :

• Configuration « papillon » (ou en triangle) : S est entre A et M (et entre B et N). Les rapports sont des rapports de longueurs positifs.
• Configuration « sablier » (ou croisée) : S est à l’extérieur du segment AM. Les rapports concernent des longueurs signées.

⚠️ Pièges courants :
• Vérifier que les droites sont bien concourantes en S.
• Vérifier que A est sur (SM) et B sur (SN).
• Ne pas confondre SA/SM avec SA/AM.

📐 IV. Application : calcul de longueurs

Méthode :
1. Identifier la configuration (S, A, M, B, N et la droite parallèle).
2. Écrire l’égalité des rapports.
3. Utiliser le produit en croix pour trouver la longueur cherchée.

💡 À retenir

• Thalès : (AB) ∥ (MN) ⟹ SA/SM = SB/SN = AB/MN.
• Réciproque : SA/SM = SB/SN ⟹ (AB) ∥ (MN).
• Toujours vérifier la configuration (points alignés correctement).
• Résoudre avec le produit en croix.