📘 L’homothétie

L’homothétie est une transformation géométrique qui agrandit ou réduit une figure à partir d’un point fixe (le centre). Elle conserve les angles mais pas les longueurs (sauf si k = ±1).

📐 I. Définition

L’homothétie de centre O et de rapport k (k ≠ 0) est la transformation qui à tout point M associe le point M’ tel que :
OM’ = k × OM (vecteurs)

• Si k > 0 : M’ est du même côté de O que M.
• Si k < 0 : M’ est du côté opposé de O (symétrie centrale + homothétie).
• Si |k| > 1 : agrandissement.
• Si |k| < 1 : réduction.
• Si k = 1 : identité (pas de transformation).
• Si k = −1 : symétrie centrale de centre O.

📐 II. Propriétés de l’homothétie

• Les droites et leur image sont parallèles.
• Les angles sont conservés.
• Les longueurs sont multipliées par |k| : A’B’ = |k| × AB.
• Les aires sont multipliées par k² : Aire’ = k² × Aire.
• L’image d’un cercle de rayon r est un cercle de rayon |k| × r.

📐 III. Construction de l’image par homothétie

Pour construire l’image A’ du point A par l’homothétie de centre O et de rapport k :
1. Tracer le segment OA (et sa demi-droite).
2. Placer A’ sur cette demi-droite tel que OA’ = |k| × OA (du même côté si k > 0, du côté opposé si k < 0).

Avec coordonnées : si O = (0, 0), A = (x, y) → A’ = (kx, ky).
Si O = (a, b) : A’ = (a + k(x − a) ; b + k(y − b)).

📐 IV. Lien avec les triangles semblables

L’homothétie produit deux figures semblables. Si le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par une homothétie de rapport k, ils sont semblables de rapport |k|.

💡 À retenir

• Homothétie de rapport k : OM’ = k × OM.
• Longueurs × |k| ; Aires × k².
• Droite et image : toujours parallèles.
• k = −1 → symétrie centrale ; k = 1 → identité.