📘 La divisibilité et les nombres premiers
La divisibilité, les nombres premiers et la décomposition en facteurs premiers permettent de simplifier les fractions et de résoudre de nombreux problèmes de calcul.
📐 I. Les multiples et les diviseurs
Multiple : a est un multiple de b si b divise a. Les multiples de 7 : 0, 7, 14, 21, 28… (infinité).
Diviseur : b est un diviseur de a si la division de a par b donne un reste nul. Ex. : 8 est un diviseur de 24 car 24 = 8 × 3.
Critères de divisibilité :
| Divisible par | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| 2 | Chiffre des unités : 0, 2, 4, 6 ou 8 | 48 → oui |
| 3 | La somme des chiffres est divisible par 3 | 711 : 7+1+1=9 → oui |
| 4 | Les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4 | 1216 : 16 ÷ 4 = 4 → oui |
| 5 | Chiffre des unités : 0 ou 5 | 175 → oui |
| 9 | La somme des chiffres est divisible par 9 | 171 : 1+7+1=9 → oui |
| 10 | Chiffre des unités : 0 | 1840 → oui |
📐 II. Les nombres premiers
Un nombre premier est un entier positif qui n’admet exactement que deux diviseurs : 1 et lui-même.
• 1 n’est PAS un nombre premier.
• Premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37…
• Pour vérifier si N est premier : tester les diviseurs premiers ≤ √N.
Exemple : 47 est-il premier ? √47 ≈ 6,9 → tester 2, 3, 5 → aucun ne divise 47 → 47 est premier.
Crible d’Ératosthène : méthode pour lister tous les nombres premiers jusqu’à n.
📐 III. Décomposition en facteurs premiers
Tout entier ≥ 2 se décompose de façon unique (à l’ordre près) en produit de facteurs premiers.
• 45 = 3² × 5
• 120 = 2³ × 3 × 5
Méthode des divisions successives : diviser par les nombres premiers dans l’ordre croissant jusqu’à obtenir 1.
📐 IV. Simplification des fractions
Simplifier une fraction = diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
• Méthode : décomposer numérateur et dénominateur en facteurs premiers, puis simplifier par les facteurs communs.
• Exemple : 36/48 = (2²×3²)/(2⁴×3) = 3/4.
• Une fraction est irréductible quand son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux (PGCD = 1).
💡 À retenir
• Critères de divisibilité à connaître par cœur : 2, 3, 4, 5, 9, 10.
• Premiers nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
• Pour vérifier si N est premier : tester les diviseurs ≤ √N.
• Fraction irréductible : PGCD(numérateur, dénominateur) = 1.